Adición de vectores por descomposición vectorial

DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

Para poder operar analíticamente con vectores (por ejemplo hacer sumas y restas) es apropiado previamente hacer una descomposición, en componentes paralelas a los ejes de un sistema de referencia, SR. El mejor modo de explicar qué significa todo esto es mostrar cómo se hace, paso a paso. Aquí va:

Supongamos que tenemos el vector A, que podría representar cualquier magnitud vectorial: una fuerza, una velocidad, una aceleración… Para descomponerlo necesitamos primero un sistema de referencia, x-y, que ya coloqué acá.

Por el extremo de A trazo rectas paralelas a los ejes del SR.

Cuando esas rectas cortan los ejes queda definido un punto (llamado coordenada) que es el extremo de los vectores componentes de A.Entonces quedan definidas las componentes de A, también llamadas proyecciones de A sobre los ejes del SR.

La componente de A sobre el eje x suele recibir el nombre Ax. Y la componente sobre el eje y, Ay.

Entre el vector original y sus componentes hay establecidas ciertas relaciones matemáticas, por ejemplo la relación pitagórica:

Ax² + Ay² = A²

Si te cabe duda de de dónde viene eso, prestale atención al triangulito sombreado:

Y también deberás admitir que:


sen α = Ay / A

cos α = Ax / A

tg α = Ay / Ax



Y lo más interesante que tienen las componentes es que (si recordás el asunto de la suma de vectores por el método de la poligonal o por el método del paralelogramo) la suma de las componente es igual al vector original.

Ax + Ay = A       (¡Ojo! ¡esto que acabo de escribir es una suma vectorial!)

O sea que la descomposición de vectores es la operación inversa de la suma

El broche de oro. Si para cada eje hubiéramos definido previamente un versor, entonces podríamos expresar lal vector A de esta manera:
A = 7 î + 2 ĵ

donde î y ĵ son los nombres habituales que reciben los versores de eje x e y respectivamente.

La combinación de estas dos operaciones (expresión con múltiplo de un versor y suma) nos ofrece un método apropiado para la operación analítica con vectores.

Suma de vectores por el método del paralelogramo y el polígono (gráfico)

El método del paralelogramo 

Permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos vectores, con su magnitud a escala, dirección y sentido originales, en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto.

Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando líneas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.

El vector suma resultante se representa a escala mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.

Ejemplo. Una bicicleta parte desde un taller de reparación y se desplaza (4 m,30º) y luego (3 m, 0º). Encuentre el desplazamiento total de la bicicleta, indicando la dirección tomada desde el taller.

El desplazamiento total se da en dos tramos. Cada tramo desplazado se representa por los vectores d1 y d2. El desplazamiento total es D = d1 y d2.

Los dos vectores son dibujados a la misma escala, y se colocan en el mismo origen. Luego se trazan las líneas paralelas.

Si medimos con una regla, a la escala dada, el tamaño del vector resultante debe dar aproximadamente 6.75 unidades de la escala; es decir, la magnitud del vector desplazamiento total es de 6.75 m.

La medida de la dirección se toma con la ayuda de un transportador, y debe dar aproximadamente 17º desde el origen propuesto.

El sentido del vector resultante es positivo, según el marco de referencia común (plano cartesiano, hacia x positivo y hacia y positivo). Entonces como resultado, la bicicleta se desplaza (6.75 m,17º).

Método Gráfico

Suma de vectores por el método gráfico

Método cola a punta

En este método se utilizan la regla y el transportador, existe una regla general y es la siguiente:

1. Usar la misma escala para todos los vectores
2. Trazar un vector (el orden no es importante)
3. Trazar el segundo vector, empezando desde el final del primer vector (la punta de la flecha), hay que dibujar correctamente el vector cuidando el ángulo, longitud y sentido.
4. La suma de los dos vectores es la flecha que se traza desde el principio del primer vector hasta la punta del segundo.

NOTA: este método se puede usar con más de dos vectores.

Ejemplo:

Tenemos los siguientes vectores:

Trazamos el vector “b” en la punta del vector “a”

Trazamos el vector “c” en la punta del vector “b”

La resultante a+b+c es el vector que une el inicio (cola) del vector “a” con la punta del vector “c”.

Cantidades vectoriales y escalares

Las magnitudes son propiedades físicas que pueden ser medidas, como por ejemplo temperatura, longitud, fuerza, corriente eléctrica, etc. Encontramos dos tipos de magnitudes, las escalares y las vectoriales.

Magnitudes escalares

Las magnitudes escalares tienen únicamente como variable a un número que representa una determinada cantidad.

La masa de un cuerpo, que en el Sistema Internacional de Unidades se mide en kilogramos, el volumen, que se mide en metros cúbicos, la temperatura o la longitud, son algunos ejemplos de magnitudes escalares.

Magnitudes vectoriales

En muchos casos las magnitudes escalares no nos dan información completa sobre una propiedad física.

Por ejemplo una fuerza de determinado valor puede estar aplicada sobre un cuerpo en diferentes sentidos y direcciones. Tenemos entonces las magnitudes vectoriales que, como su nombre lo indica, se representan mediante vectores, es decir que además de un módulo (o valor absoluto) tienen una dirección y un sentido.

Ejemplos de magnitudes vectoriales son la velocidad, la fuerza, la aceleración y el campo eléctrico.

Según el modelo físico con el que estemos trabajando, se utilizan vectores con diferente número de componentes. Los más utilizados son los de dos y tres coordenadas que permiten representar valores en el plano y en el espacio respectivamente.

En el apartado de matemática se pueden consultar las operaciones con vectores más utilizadas (suma, resta, producto escalar, producto vectorial, etc.).

 

Sistema de unidades, conversión de unidades

Conversión de unidades

La conversión de unidades es la transformación de una cantidad, expresada en un cierta unidad de medida, en otra equivalente, que puede ser del mismo sistema de unidades o no.

Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de conversión.

Frecuentemente basta multiplicar por una fracción (factor de conversión) y el resultado es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos, por ejemplo si queremos pasar 8 metros a yardas, lo único que tenemos que hacer es multiplicar 8 x (0.914)=7.312 yardas.

Conversiones de masa

Un ejemplo de una conversión múltiple aquí lo que hizo básicamente fue millas /hora a Pies /seg. 

^{pero como existe un valor directo de milla a pies tubo que convertir primero las millas a metros para despues poder convertilo a pies y una vez ya teniendo eso poder convertir las hora a segundos}  

  ^{otros ejemplos} 

  Queremos pasar 2 horas a minutos:

 

^{Para convertir esta cantidad lo que hacemos es poner la unidad que queremos eliminar en el denominador y la unidad a la que queremos convertir en el numerador, para asi poder multiplicar el 2 con el numerador que es 60 y así obtener el valor de 120 minutos.}

Queremos pasar 30 cm a m:

 

Queremos pasar 120 km/h a m/s:

 

Notación exponencial (científica a decimal y viceversa)

Notación exponencial

Cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños, los científicos, matemáticos e ingenieros usan notación científica para expresar esas cantidades. La notación científica es una abreviación matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un exponente que contar muchos ceros en un número. Números muy grandes o muy pequeños necesitan menos espacio cuando son escritos en notación científica porque los valores de posición están expresados como potencias de 10. Cálculos con números largos son más fáciles de hacer cuando se usa notación científica.

Un número en notación científica se escribe como el producto de un número (entero o decimal) y una potencia de 10. El número tiene un dígito hacia la izquierda del punto decimal. La potencia de diez indica cuantos lugares se corrió el punto decimal.

El número 6.5x10-7 escrito en forma decimal sería 0.00000065 porque el punto decimal se corrió 7 lugares hacia la izquierda para formar el decimal 0.00000065.

 Aprendiendo a Usar Notación Científica


La célula roja humana es muy pequeña y se estima que tiene un diámetro de 0.0065 milímetros. Por otro lado, un año luz es una unidad de distancia muy grande que mide alrededor de 10,000,000,000,000,000 metros. Ambas cantidades son difíciles de escribir, y sería muy fácil ponerles o quitarles un cero o dos de más. Pero en notación científica, el diámetro de una célula roja se escribe como 6.5 x 10-3 milímetros, y un año luz es más o menos 1 x 1016 metros. Esas cantidades son más fáciles de usar que sus versiones largas

Usamos la notación exponencial para escribir multiplicaciones repetidas, como 10 • 10 • 10 como 10³. El 10 en 10³ se llama base. El 3 en 10³ se llama exponente. La expresión 10³ se llama expresión exponencial.

Números Grandes		Números Pequeños
Notación Decimal	Notación Científica	Notación Decimal	Notación Científica
500.0	5 x 102	0.05	5 x 10-2
80,000.0	8 x 104	0.0008	8 x 10-4
43,000,000.0	4.3 x 107	0.00000043	4.3 x 10-7
62,500,000,000.0	6.25 x 1010	0.000000000625	6.25 x 10-10

Empecemos con los números grandes. Para escribir un número grande en notación científica, primero debemos mover el punto decimal a un número entre 1 y 10. Como mover el punto decimal cambia el valor, tenemos que aplicar una multiplicación por la potencia de 10 que nos resulte en un valor equivalente al original. Para encontrar el exponente, sólo contamos el número de lugares que recorrimos el punto decimal. Ese número es el exponente de la potencia de 10.

Analicemos un ejemplo. Para escribir 180,000 en notación científica, primero movemos el punto decimal hacia la izquierda hasta que tengamos un número mayor o igual que 1 y menor que 10. El punto decimal no está escrito en 180,000, pero si lo estuviera sería después del último cero. Si empezamos a recorrer el punto decimal un lugar cada vez, llegaremos a 1.8 después de 5 lugares:

180000.

18000.0

1800.00

180.000

18.0000

1.80000

Ahora conocemos el número (1.8) y el exponente de la potencia de 10 que preserva el valor original (5). En notación científica 180,000 se escribe 1.8 x 10⁵.

El proceso de cambiar entre notación decimal y científica es el mismo para números pequeños (entre 0 y 1), pero en este caso el punto decimal se mueve hacia la derecha, y el exponente será negativo. Considera el número pequeño 0.0004:

0.0004

00.004

000.04

0000.4

00004.

Movimos el punto decimal hacia la derecha hasta que obtuvimos el número 4, que está entre 1 y 10 como es requerido. Lo movimos 4 lugares, pero fueron movimientos que hicieron el número más grande que el original. Entonces tendremos que multiplicar por una potencia negativa de 10 para traer de regreso el nuevo número al equivalente de su valor original. En notación científica 0.0004 se escribe 4.0 x 10^-4.

Cambiando de Notación Científica a Forma Decimal

También podemos ir al revés — números escritos en notación científica pueden ser trasladados a notación decimal. Por ejemplo, un átomo de hidrógeno tiene un diámetro de 5 x 10^-8 mm. Para escribir este número en notación decimal, convertimos la potencia de 10 en una serie de ceros entre el número y el punto decimal. Como el exponente es negativo, todos esos ceros van a la izquierda del número 5:

5 x 10^-8

5.

0.5

0.05

0.005

0.0005

0.00005

0.000005

0.0000005

0.00000005

Por cada potencia de 10, movemos el punto decimal un lugar hacia la derecha, Ten cuidado aquí y no te dejes llevar por los ceros — el número de ceros después del punto decimal siempre será 1 menosque el exponente. Se necesita una potencia de 10 para mover el punto decimal a la izquierda del primer número.

Números que están escritos en notación científica pueden ser multiplicados y divididos fácilmente aprovechando algunas propiedades y reglas. Para multiplicar números en notación científica, primero multiplicamos los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10ⁿ). Luego multiplicamos las potencias de 10 al sumar los exponentes.

Ejemplo

Problema

(3 x 10⁸)(6.8 x 10^-13)

(3 • 6.8)(10⁸ x 10^-13)

Reagrupar usando las Propiedades Conmutativas y Asociativas

(20.4)( 10⁸ x 10^-13)

Multiplicar los números

20.4 x 10^-5

Sumar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes

2.04 x 10¹ x 10^-5

Convertir 20.4 a notación científica

2.04 x 10^1+(-5)

Sumar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes

Solución

2.04 x 10^-4

Para dividir números en notación científica, también aplicamos las propiedades de los números y las reglas de los exponentes. Empezamos por dividir los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10ⁿ). Luego dividimos las potencias de 10 al restar los exponentes.

Ejemplo
Problema
		Reagrupar usando la Propiedad Asociativa
	(0.82)	Dividir los números
	0.82 x 10-9 – (-3) 0.82 x 10-6	Restar los exponentes
	(8.2 x 10-1) x 10-6	Convertir 0.82 a notación científica
	8.2 x 10-1+(-6)	Sumar los exponentes
Solución	8.2 x 10-7

La notación científica fue desarrollada para ayudar a matemáticos, científicos y otros cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños. La notación científica sigue un formato específico en el cual un número es expresado como el producto de un número mayor o igual que uno y menor que 10 y una potencia de 10. El formato se escribe como a x 10ⁿ, donde  y n es un entero.

Para multiplicar números en notación científica, sumamos los exponentes. Para dividir, restamos los exponentes.

Magnitud, medición, unidades fundamentales y derivadas

¿Qué es una magnitud física?

Una magnitud física es todo aquello que se puede medir. Entendiendo por medir la comparación de una magnitud con otra de la misma especie que se toma como unidad.

Debemos saber que existen dos tipo de magnitudes:

• Las magnitudes básicas o fundamentales: son aquellas que se definen por sí mismas y son independientes de las demás.  Ej: tiempo.
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• Las magnitudes derivadas: son aquellas que se obtienen a partir de las magnitudes fundamentales mediante expresiones matemáticas. Ej: velocidad= distancia/tiempo
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• Las unidades de medida son aquellos valores de referencia que nos sirven para comparar las magnitudes físicas y a la que se le asigna valor 1. El resultado de una medida debe ir siempre acompañado de su unidad de medida.
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• TABLA. Unidades básicas en el SI
  

TABLA. Múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI

Una buena unidad de medida debe cumplir:

• Ser siempre constante, no debe depender del tiempo ni de las personas que realice la medida.
• Ser universal, es decir, poder ser utilizada en cualquier parte del mundo.
• Ser fácil de reproducir.

TABLA. Unidades derivadas en el SI