Notación exponencial (científica a decimal y viceversa)

Notación exponencial

Cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños, los científicos, matemáticos e ingenieros usan notación científica para expresar esas cantidades. La notación científica es una abreviación matemática, basada en la idea de que es más fácil leer un exponente que contar muchos ceros en un número. Números muy grandes o muy pequeños necesitan menos espacio cuando son escritos en notación científica porque los valores de posición están expresados como potencias de 10. Cálculos con números largos son más fáciles de hacer cuando se usa notación científica.

Un número en notación científica se escribe como el producto de un número (entero o decimal) y una potencia de 10. El número tiene un dígito hacia la izquierda del punto decimal. La potencia de diez indica cuantos lugares se corrió el punto decimal.

El número 6.5x10-7 escrito en forma decimal sería 0.00000065 porque el punto decimal se corrió 7 lugares hacia la izquierda para formar el decimal 0.00000065.

 Aprendiendo a Usar Notación Científica


La célula roja humana es muy pequeña y se estima que tiene un diámetro de 0.0065 milímetros. Por otro lado, un año luz es una unidad de distancia muy grande que mide alrededor de 10,000,000,000,000,000 metros. Ambas cantidades son difíciles de escribir, y sería muy fácil ponerles o quitarles un cero o dos de más. Pero en notación científica, el diámetro de una célula roja se escribe como 6.5 x 10-3 milímetros, y un año luz es más o menos 1 x 1016 metros. Esas cantidades son más fáciles de usar que sus versiones largas

Usamos la notación exponencial para escribir multiplicaciones repetidas, como 10 • 10 • 10 como 10³. El 10 en 10³ se llama base. El 3 en 10³ se llama exponente. La expresión 10³ se llama expresión exponencial.

Números Grandes		Números Pequeños
Notación Decimal	Notación Científica	Notación Decimal	Notación Científica
500.0	5 x 102	0.05	5 x 10-2
80,000.0	8 x 104	0.0008	8 x 10-4
43,000,000.0	4.3 x 107	0.00000043	4.3 x 10-7
62,500,000,000.0	6.25 x 1010	0.000000000625	6.25 x 10-10

Empecemos con los números grandes. Para escribir un número grande en notación científica, primero debemos mover el punto decimal a un número entre 1 y 10. Como mover el punto decimal cambia el valor, tenemos que aplicar una multiplicación por la potencia de 10 que nos resulte en un valor equivalente al original. Para encontrar el exponente, sólo contamos el número de lugares que recorrimos el punto decimal. Ese número es el exponente de la potencia de 10.

Analicemos un ejemplo. Para escribir 180,000 en notación científica, primero movemos el punto decimal hacia la izquierda hasta que tengamos un número mayor o igual que 1 y menor que 10. El punto decimal no está escrito en 180,000, pero si lo estuviera sería después del último cero. Si empezamos a recorrer el punto decimal un lugar cada vez, llegaremos a 1.8 después de 5 lugares:

180000.

18000.0

1800.00

180.000

18.0000

1.80000

Ahora conocemos el número (1.8) y el exponente de la potencia de 10 que preserva el valor original (5). En notación científica 180,000 se escribe 1.8 x 10⁵.

El proceso de cambiar entre notación decimal y científica es el mismo para números pequeños (entre 0 y 1), pero en este caso el punto decimal se mueve hacia la derecha, y el exponente será negativo. Considera el número pequeño 0.0004:

0.0004

00.004

000.04

0000.4

00004.

Movimos el punto decimal hacia la derecha hasta que obtuvimos el número 4, que está entre 1 y 10 como es requerido. Lo movimos 4 lugares, pero fueron movimientos que hicieron el número más grande que el original. Entonces tendremos que multiplicar por una potencia negativa de 10 para traer de regreso el nuevo número al equivalente de su valor original. En notación científica 0.0004 se escribe 4.0 x 10^-4.

Cambiando de Notación Científica a Forma Decimal

También podemos ir al revés — números escritos en notación científica pueden ser trasladados a notación decimal. Por ejemplo, un átomo de hidrógeno tiene un diámetro de 5 x 10^-8 mm. Para escribir este número en notación decimal, convertimos la potencia de 10 en una serie de ceros entre el número y el punto decimal. Como el exponente es negativo, todos esos ceros van a la izquierda del número 5:

5 x 10^-8

5.

0.5

0.05

0.005

0.0005

0.00005

0.000005

0.0000005

0.00000005

Por cada potencia de 10, movemos el punto decimal un lugar hacia la derecha, Ten cuidado aquí y no te dejes llevar por los ceros — el número de ceros después del punto decimal siempre será 1 menosque el exponente. Se necesita una potencia de 10 para mover el punto decimal a la izquierda del primer número.

Números que están escritos en notación científica pueden ser multiplicados y divididos fácilmente aprovechando algunas propiedades y reglas. Para multiplicar números en notación científica, primero multiplicamos los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10ⁿ). Luego multiplicamos las potencias de 10 al sumar los exponentes.

Ejemplo

Problema

(3 x 10⁸)(6.8 x 10^-13)

(3 • 6.8)(10⁸ x 10^-13)

Reagrupar usando las Propiedades Conmutativas y Asociativas

(20.4)( 10⁸ x 10^-13)

Multiplicar los números

20.4 x 10^-5

Sumar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes

2.04 x 10¹ x 10^-5

Convertir 20.4 a notación científica

2.04 x 10^1+(-5)

Sumar los exponentes siguiendo la regla de los exponentes

Solución

2.04 x 10^-4

Para dividir números en notación científica, también aplicamos las propiedades de los números y las reglas de los exponentes. Empezamos por dividir los números que no son potencias de 10 (la a en a x 10ⁿ). Luego dividimos las potencias de 10 al restar los exponentes.

Ejemplo
Problema
		Reagrupar usando la Propiedad Asociativa
	(0.82)	Dividir los números
	0.82 x 10-9 – (-3) 0.82 x 10-6	Restar los exponentes
	(8.2 x 10-1) x 10-6	Convertir 0.82 a notación científica
	8.2 x 10-1+(-6)	Sumar los exponentes
Solución	8.2 x 10-7

La notación científica fue desarrollada para ayudar a matemáticos, científicos y otros cuando trabajan con números muy grandes o muy pequeños. La notación científica sigue un formato específico en el cual un número es expresado como el producto de un número mayor o igual que uno y menor que 10 y una potencia de 10. El formato se escribe como a x 10ⁿ, donde  y n es un entero.

Para multiplicar números en notación científica, sumamos los exponentes. Para dividir, restamos los exponentes.