domingo, 29 de abril de 2018

Problemas de MCUA






PROBLEMA: Una rueda tiene 3 m de diámetro, realiza 48 vueltas en 6 segundos. Calcula:




  1. Periodo y frecuencia

  2. Velocidad lineal y velocidad angular

  3. Aceleración Centrípeta


Solución


a. La frecuencia:   f = número de vueltas/ tiempo empleado


                                      F = 48 v / 6 s = 8 v/s = 8 r.p.s = 8 Hz


El Periodo: T = tiempo empleado / número de vueltas


                                     T = 6 s/ 8 v = 0,75 s


 b. Velocidad Lineal o tangencial: Vt = 2 π r / T


                         Vt = 2. 3,14 . 1,5 m / 0,75 s = 9,42 m / 0,75 s = 12.56 m/s


 La velocidad Angular:  ω = 2 π / T = 2 π / 0,75 s = 2,7 π rad/s


 c. La Aceleración Centrípeta: ac = Vt2 / r = (12,56m/s)2 / 1,5 m = 105,2 m/s2

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MCUA, desplazamiento, y aceleración angular


El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.
En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmente en el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P1 a P2 sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleración tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.
Dibujo del movimiento circular uniformemente acelerado

El desplazamiento de la partícula es más rápido o más lento según avanza el tiempo. El ángulo recorrido (θ) en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:

Fórmula del ángulo recorrido por una partícula dependiendo del tiempo en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Aplicando la fórmula del incremento de ángulo calculamos la posición en la que estará la partícula pasado un tiempo t se obtiene la fórmula de la posición:

Fórmula de la posición de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Dibujo de la posición de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
La velocidad angular aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Por lo tanto, podemos calcular la velocidad angular en el instante t como:

Fórmula de la velocidad angular de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
El sentido de la aceleración angular α puede ser contrario al de la velocidad angular ω. Si la aceleración angular es negativa, seria un caso de movimiento circular uniformemente retardado.

Velocidad tangencial

La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio r. La velocidad tangencial también se incrementa linealmente mediante la siguiente fórmula:

Fórmula de la velocidad tangencial de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa que se ha descrito en el apartado anterior.

Aceleración angular

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Fórmula de la aceleracion angular de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Fórmula de la aceleracion tangencial de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Aceleración centrípeta

La aceleración centrípeta en el MCUA se halla mediante:

Fórmula de la aceleración centrípeta en el movimiento circular uniformemente acelerado(MCUA)

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Problemas de movimiento circular


PROBLEMA 1: 

Al realizar un Movimiento Circular Uniformemente Acelerado un objeto describe un radio de 0.8 m y efectúa una vuelta completa en 0.2 segundos para este instante, calcular: a) velocidad angular, b) velocidad tangencial, c) aceleración tangencial, d) aceleración centrípeta, e) aceleración resultante
Solución: Vamos a utilizar las fórmulas expuestas en cada definición, así que prestar mucha atención. Porque será de gran relevancia.
Nuestros datos son:
r = 0.8 m
T = 0.2 s
a) Calculando la Velocidad Angular
Para calcular la velocidad angular, podemos usar la siguiente fórmula, que relaciona solamente al periodo.
\displaystyle \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2(3.1416)rad}{0.2s}=31.42\frac{rad}{s}
b) Calculando la velocidad tangencial 
Para poder obtener la velocidad tangencial, aplicamos la fórmula y sustituimos los datos.
\displaystyle {{v}_{t}}=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2(3.1416)\left( 0.8m \right)}{0.2s}=25.13\frac{m}{s}
c) Calculando la aceleración tangencial
Para obtener la aceleración tangencial, necesitamos saber la aceleración angular, para ello aplicamos la fórmula:
\displaystyle \alpha =\frac{\omega }{t}=\frac{31.42\frac{rad}{s}}{0.2s}=157.1\frac{rad}{{{s}^{2}}}
Ahora si aplicamos la fórmula de la aceleración tangencial.
\displaystyle {{a}_{t}}=\alpha r=\left( 157.1\frac{rad}{{{s}^{2}}} \right)\left( 0.8m \right)=125.68\frac{m}{{{s}^{2}}}
d) Calculando la aceleración centrípeta. 
Para obtener la aceleración centrípeta, aplicamos la siguiente fórmula y sustituimos datos:
\displaystyle {{a}_{c}}=\frac{{{v}_{t}}^{2}}{r}=\frac{{{\left( 25.13\frac{m}{s} \right)}^{2}}}{0.8m}=789.4\frac{m}{{{s}^{2}}}
una aceleración demasiado grande.
e) Calculando la velocidad resultante
Aplicamos la siguiente fórmula:
\displaystyle {{a}_{R}}=\sqrt{{{a}_{c}}^{2}+{{a}_{t}}^{2}}=\sqrt{{{\left( 789.4\frac{m}{{{s}^{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( 125.68\frac{m}{{{s}^{2}}} \right)}^{2}}}=799.34\frac{m}{{{s}^{2}}}
PROBLEMA 2:Una pieza metálica sujeta a una cuerda, describe un movimiento circular con radio de 0.35 m y tarda 0.40 segundos en dar una vuelta completa, ¿qué aceleración centrípeta representa?
Solución: El problema es más sencillo que el ejemplo anterior, ya que solamente nos piden la aceleración centrípeta, para obtener dicha aceleración necesitamos conocer la velocidad tangencial, y posteriormente la aceleración centrípeta. 
\displaystyle {{v}_{t}}=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2(3.1416)\left( 0.35m \right)}{0.4s}=5.5\frac{m}{s}
Ahora si podemos calcular la aceleración centrípeta.
\displaystyle {{a}_{c}}=\frac{{{v}_{t}}^{2}}{r}=\frac{{{\left( 5.5\frac{m}{s} \right)}^{2}}}{0.35m}=86.43\frac{m}{{{s}^{2}}}
PROBLEMA 3:Una piedra de 0.06kg de masa se hace girar mediante una cuerda de 1.5 metros de longitud. Si ésta presenta en su superficie una velocidad tangencial de 9 m/s. ¿cuál es su fuerza centrípeta?
Solución: En este ejemplo a diferencia de los anteriores, poseemos una masa de la piedra, y es lógico, porque queremos encontrar una fuerza, y sabemos que por la segunda ley de Newton, para obtener la fuerza es necesario una masa.
Aplicamos la fórmula:
\displaystyle {{F}_{c}}=\frac{\left( m \right){{\left( {{v}_{t}} \right)}^{2}}}{r}=\frac{\left( 0.06kg \right){{\left( 9\frac{m}{s} \right)}^{2}}}{1.5m}=3.24N
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Movimiento circular, aceleración y fuerzas centrípedas



Movimiento circular uniforme
La Naturaleza y tu día a día están llenos de ejemplos de movimientos circulares uniformes (m.c.u.). La propia Tierra es uno de ellos: da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. Los viejos tocadiscos o un ventilador son otros buenos ejemplos de m.c.u. 
El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que no tiene aceleración tangencial ni aceleración angular,  aunque sí aceleración normal.
Eligiendo el origen de coordenadas para estudiar el movimiento en el centro de la circunferencia, y conociendo su radio R, podemos expresar el vector de posición en la forma:
r→=x⋅i→+y⋅j→=R⋅cos(φ)⋅i→+R⋅sin(φ)⋅j→
De esta manera, la posición y el resto de magnitudes cinemáticas queda definida por el valor de φ en cada instante.
Vector de posición en movimiento circular uniforme

Algunas de las principales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes:
    Resultado de imagen para movimiento circular
  1. La velocidad angular es constante (ω = cte)
  2. El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal
  3. Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante
  4. Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.)
  5. Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo


Fuerza Centrípeda

Cuando un cuerpo describe una trayectoria curvilínea, el vector velocidad debe cambiar de dirección y sentido. La aceleración centrípeta es la encargada de ello. Pues bien, la fuerza centrípeta es la responsable de dotar a un cuerpo con dicha aceleración.
La fuerza centrípeta es la responsable de dotar al cuerpo con aceleración normal. Su valor viene dado por:
F→n=m⋅a→n=m⋅v2ρ⋅u→n

Donde:
  • F→n : Es la fuerza centrípeta. Se suele usar el subíndice n por que su dirección es normal a la trayectoria y de esta manera se la diferencia de la fuerza centrífuga. Su sentido, al igual que el de la aceleración centrípeta, apunta hacia el centro de curvatura. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el newton (N)
  • m: Masa del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kilogramo (kg)
  • a→n : Aceleración normal o centrípeta. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2) y su valor viene dado por an=v2/ρ siendo v la velocidad del cuerpo en ese punto ρ y el radio de curvatu





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